Pengertian Fungsi dalam Matematika

Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).

Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:

- Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df.

- Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.

- Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f dilambangkan dengan Rf.

SIFAT-SIFAT FUNGSI

1. FUNGSI INJEKTIF

Disebut fungsi satu-satu . Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ b berakibat f(a) ≠ f(b) atau ekuivalen, jika f(a) = f(b) maka akibatnya a = b.

2. FUNGSI SURJEKTIF

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain Bterdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3. FUNGSI BIJEKTIF

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

JENIS-JENIS FUNGSI

1. FUNGSI LINEAR

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 disebut fungsi linear

2. FUNGSI KONSTAN

Misalkan f:A→B adalah fungsi di dalam A maka fungsi f disebut fugsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.

3. FUNGSI IDENTITAS

Misalkan f:A→B adalah fungsi dari A ke B maka f disebut fungsi identitas jika dan hanya jika range f = kodomain atau f(A)=B.

4. FUNGSI KUADRAT

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Mana dari himpunan A, B dan C berikut ini yang merupakan fungsi ?

A = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 8)}

B ={(1, 6), (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10)}

C ={(2, 5), (3, 6), (4, 7)}

Jawab:

Yang merupakan pemetaan atau fungsi adalah himpunan A dan C. B bukan fungsi
sebab pada himpunan B domain 1 muncul dua kali (berelasi dengan nilai 6 dan 7 pada
kodomain).

2. Diketahui f(x) = ax + b. dengan f(-4 ) = -3 dan f(2) = 9 Tentukan nilai a dan b kemudian tuliskan fungsinya.

Jawab:

f(x) = ax + b

f(-4 ) = a(-4) + b = -3

-4a + b = -3 ……. (1)

f( 2 ) = a . 2 + b = 9

2a + b = 9 ……. (2)

Eliminasikan 1 dan 2 diperoleh:

-4a + b = -3

2a + b = 9 -

-6a = – 12

a = 2,

substitusi nilai a = 2 ke 2a + b = 9

2.(2) + b = 9

4 + b = 9

b = 5

Jadi fungsinya f(x) = 2x + 5

3. Diketahui, jika :

A = {2, 3, 6}

B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Tuliskan domain, kodomain, range dari relasi diatas?

jawab :

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Fungsi (Pemetaan)

Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi khusus antara dua himpunan, setiap anggota himpunan pertama dipasangkan tepat satu anggota himpunan kedua.

Ciri-ciri Fungsi (Pemetaan)

Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B berlaku ketentuan berikut:

Himpunan A dan himpunan B bukan himpunan kosong
Pasangan setiap anggota himpunan A tidak boleh lebih dari satu.
Setiap anggota himpunan A harus mempunyai pasangan di himpunan B.
Anggota himpunan B boleh tidak mempunyai pasangan di A atau mempunyai pasangan lebih dari satu.

Suatu fungsi dapat dinyatakan dengan cara diagram panah, diagram Cartesius dan himpunan pasangan berurutan.

Cara Menyajikan Suatu Fungsi

Masih ingatkah Anda cara menyajikan suatu relasi? Untuk menyajikan suatu fungsi caranya sama seperti menyajikan suatu relasi, karena fungsi merupakan bentuk khusus dari suatu relasi. Anda harus ingat juga perbedaan relasi dengan fungsi. Ada tiga cara dalam menyajikan suatu fungsi yaitu dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpuan pasangan berurutan.

Untuk menyajikan suatu fungsi Anda harus paham cara menentukan nilai suatu fungsi (Silahkan baca: cara menentukan notasi dan nilai suatu fungsi). Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menyajikan suatu fungsi silahkan simak contoh berikut ini. Misalkan P = {0, 2, 4} dan Q = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsi f: P --> Q ditentukan dengan f(x) = x – 2 maka:

f(0) = 0 – 2 = –2

f(2) = 2 – 2 = 0

f(4) = 4 – 2 = 2

Dari soal tersebut diketahui bahwa himpunan P = {0, 2, 4} merupakan domain (daerah asal), himpunan Q = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} merupakan kodomain (daerah kawan) dan range (daerah hasil) yaitu {(–2, 0, 2)}. Nah sekarang dari hal tersebut kita sajikan ke dalam bentuk:

a. Diagram Panah

Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut seperti gambar di bawah berikut ini.

b. Diagram Cartesius

Diagram Cartesius dari fungsi f tersebut seperti gambar di bawah berikut ini.

c. Himpunan Pasangan Berurutan

Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f tersebut adalah {(0, –2), (2, 0), (4, 2)}.

Perhatikan bahwa setiap anggota A muncul tepat satu kali pada komponen pertama pada pasangan berurutan. Nah untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menyajikan suatu fungsi berikut Mafia Online berikan tambahan contoh soal dan pembahasannya.

Contoh Soal

Suatu fungsi dari A ke B didefinisikan sebagai f(x) = –2x + 7. Jika A = {x | –1 < x ≤ 5} dan B adalah himpunan bilangan bulat maka: a). tentukan f(x) untuk setiap x anggota himpunan A; b). gambarlah fungsi f(x) dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Penyelesaian:

A = {x | –1 < x ≤ 5} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = Bilangan bulat, dan f(x) = –2x + 7, maka:

a) nilai f(x) untuk setiap x anggota himpunan A yakni:

f(0) = –2.0 + 7 = 7

f(1) = –2. 1 + 7 = 5

f(2) = –2.2 + 7 = 3

f(3) = –2.3 + 7 = 1

f(4) = –2.4 + 7 = –1

f(5) = –2.5 + 7 = –3

b). fungsi f(x) dalam diagram panah seperti gambar berikut di bawah ini